1. Lattice points in polytopes
   A famous theorem of Pick states that if $P$ is a polygon in the plane 

with integer vertices, with $I$ interior lattice points, $B$ boundary lattice 

points,  and area $A$, then $A=/frac 12(2I+B-2)$.  How can this result 

be extended to higher dimensions? 

We will give a survey of this subject. Topics include Ehrhart polynomials of

 integer polytopes, reciprocity, magic squares, zonotopes, graphical degree 

sequences, and Brion's theorem.

2. Alternating permutations
      A permutation $a_1,a_2,/dots,a_n$ of $1,2,/dots,n$ is called /emph{alternating} 

if $a_1>a_2<a_3>a_4</cdots$. 

The number of alternating 

permutations of $1,2,/dots,n$ is denoted $E_n$ 

and is called an /emph{Euler number}. 

The most striking result about alternating permutations 

is the generating function
        $$ /sum_{n/geq 0}E_n/frac{x^n}{n!} = /sec x+/tan x, $$
found by D/'esir/'e Andr/'e in 1879. 

We will discuss this result and how 

it leads to the subject of ``combinatorial trigonometry.'' 

We will then survey some further aspects of alternating 

permutations,  including some other objects that are counted by $E_n$, 

a connection with the $cd$-index of the symmetric group, 

and the use of the representation theory of the symmetric 

group to count certain classes of alternating permutations.